Родился 14 октября 1921 года в деревне Володарск в крестьянской семье. Белорус. Окончил начальную школу. Работал в колхозе, а с 1940 года – на железной дороге в Могилёве.
Во время Великой Отечественной войны – партизан-подрывник партизанского отряда имени Ворошилова. В Красной Армии с 1943 года. На фронте с ноября 1943 года.
Наводчик станкового пулемёта 413-го стрелкового полка (73-я стрелковая дивизия, 48-я армия, 1-й Белорусский фронт) красноармеец Александр Кострома 4 сентября 1944 года поддерживал пулемётным огнём подразделение при форсировании реки Нарев в районе населённого пункта Бжузе, расположенного южнее польского города Ружан, участвовал в захвате плацдарма. Нанеся противнику значительный урон в живой силе и технике, помог удержать занимаемый рубеж.
Приказом по 73-й стрелковой дивизии № 126 от 29 сентября 1944 года за мужество и отвагу проявленные в боях красноармеец Кострома Александр Яковлевич награждён орденом Славы 3-й степени.
10 октября 1944 года наводчик станкового пулемёта 413-го стрелкового полка (73-я стрелковая дивизия, 48-я армия, 1-й Белорусский фронт) красноармеец Александр Кострома отличился в боях по расширению плацдарма на правом берегу реки Нарев в районе населённого пункта Бжузе-Мале, расположенного в восьми километрах южнее польского города Ружан, ведя пулемётный огонь по неприятелю. Мужественный пулемётчик был ранен, но поля боя не покинул.
Приказом по 73-й стрелковой дивизии от 13 октября 1944 года за мужество и отвагу проявленные в боях красноармеец Кострома Александр Яковлевич награждён (повторно) орденом Славы 3-й степени.
14 января 1945 года командир расчёта станкового пулемёта 413-го стрелкового полка (73-я стрелковая дивизия, 48-я армия, 1-й Белорусский фронт) младший сержант Александр Кострома в районе деревни Домбровка, расположенной южнее польского города Макув, в критический момент боя заменил выбывшего из строя командира взвода. Умело организовал огонь пулемётных расчётов, обеспечил стрелковым подразделениям выполнение боевой задачи. Вновь был ранен, но продолжал руководить взводом
Приказом по 48-й армии № 533 от 17 февраля 1945 года за мужество и отвагу проявленные в боях младший сержант Кострома Александр Яковлевич награждён орденом Славы 2-й степени.
В 1945 году старшина Кострома А.Я. демобилизован. Вернулся на родину - в Беларусь.
Указом Президиума Верховного Совета СССР от 22 апреля 1969 года за образцовое выполнение заданий командования в боях с немецко-фашистскими захватчиками старшина запаса Кострома Александр Яковлевич перенаграждён орденом Славы 1-й степени (№ 2922), став полным кавалером ордена Славы.
Жил в городе Речица. С 1948 года работал лесником. Скончался 13 февраля 1993 года.
Награждён орденами Отечественной войны 1-й степени, Славы 1-й, 2-й и 3-й степени, медалями.
Библиография:
1. Долготович, Б.Д. Кавалеры ордена Славы. - Минск, 2006
2. Кавалеры ордена Славы трёх степеней. Биограф.словарь. - М.: Воениздат, 2000
3. Кастрама Аляксандр Якаўлевіч...// Беларуская энцыклапедыя: У 18 т.,Т.8. - МН.: БелЭн, 1999. - С. 155.
4. Навечно в сердце народном. 3-е изд., доп. и испр. - Минск, 1984
5. Рощин, И.И. Солдатская слава. Книга 6. - М., 1982
6. Шакаров, С.Ф. Герои Советского Союза, полные кавалеры ордена Славы Гомельщины/ С.Ф. Шакаров. - 4-е изд., стер. - Гомель, 2005. - С. 161.
